Har han rätt att bo kvar?

Du kan inte sparka ut honom direkt. 

Han kan få rätt att bo kvar och du åka ut. Kommer ni inte överrens får en domstol avgöra vem som har rätt att bo kvar. Vid en sån rättegång har du ett vist övertag. 

Nej han ljuger. Han åker ut eftersom du står på kontraktet och hyresbolaget kommer inte att godkänna att han tar över det (om du skulle ge dig) eftersom han har hyreskuld till det bolaget. Din sambo försöker bara skrämma dig. Ring till hyresbolaget redan nu och fråga dem och berätta om hans hyreskuld så kan du täppa till honom med fakta nästa gång han påstår det. Har du andra juridiska frågor så säg bara till!

Besittningsrätten gäller väl först efter två år oavsett?
Har han bott i 1,5 år i en lägenhet som du skaffade åt dig och dina barn innan du träffade honom så har han extremt liten chans att få överta lägenheten mot din vilja.
Är ni gifta så tror jag att han kan begära prövning, men för att få det så krävs att hyresbolaget godkänner och att han kan visa att han har större behov av lägenheten än vad du har.
Är ni inte gifta så har han ingen rätt alls till lägenheten.

Besittningsrätten ligger ju på dig som har kontraktet. Det ger dig en fördel mot hyresvärden. Denna kan inte avhysa dig hur som med andra ord. Eftersom ditt ex inte finns med på något kontrakt så har han ingen besittningsrätt. Och som föregående talare sa så börjar den gälla först efter två år.

Det finns mer att läsa om detta i jordabalken.
www.riksdagen.se/sv/dokument-lagar/dokument/svensk-forfattningssamling/jordabalk-1970994_sfs-1970-994

Kap12 45§

hoppas det löser sig!

Nej, varför skulle den gälla efter 1-2 år?