Flytta till annan kommun får barnen gå kvar på sin nuvarande skola...

Hej.. Jag har en fundering som jag hoppas nån kan svara på... 
jag har två barn, (9 o 6 år)  pappan o jag är skilda. båda bor i samma by...
Barnen står skrivna hos mig och bor varannan vecka hos mig...
Nu är det så att jag o min pojkvän letar hus... Och nu till min fundering...
Om vi flyttar utanför kommunen kommer då barnen automatiskt skrivas över till pappan?? Eftersom han bor kvar i deras hemkommun? pappan kan ju utan protest skriva på papperna men får dom då gå kvar på den skolan som dom går idag eller måste dom byta skolan eller stå skrivna hos pappan???
Nån som vet??? Annars får vi ju stanna här i kommunen, vilket jag helst vill.. men hitta ett fint hus på landet som ligger bara tio minuters bilfärd från där vi bor nu men tyvärr i "fel" kommun... O det är billigare med hus i den kommunen...
Någon som vet vad som gäller???